EL NUMERO AUREO

El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,¹ razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:²

El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo acomo a es al segmento más corto b.

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),³ por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi(Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático. El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.⁸

• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).^9 10
• La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.⁹
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
• La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo. ^11 12
• La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144. ¹¹
• La distribución de las hojas de la yuca y la disposición de las hojas de las alcachofas. ¹¹
• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.^13 14 Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.¹⁵
• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos.⁹ Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church⁹ y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. No todas las plantas se benefician con un máximo de exposición solar o a la lluvia, por lo que se observan otros ángulos constantes diferentes del ideal de 137ª 30'. Puede encontrar una tabla en la página 26 del documento completo accesible en el enlace de la referencia.¹²
• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
• Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo. En el mundo inorgánico no existe el pentágono regular. Éste aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgánico; no podemos pretender exactitud matemática al límite ¹⁶ ) exclusivamente en los organismos vivos.¹⁷

[editar]El número áureo en el arte y en la cultura

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En el representación del Hombre de VitruvioLeonardo da Vinci no utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario propuesto por Vitruvio

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.¹⁸ No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.¹⁹ Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo  y cuatro cuadrados.²⁰ Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.²¹
• En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.^22 23 24
• En las estructuras y tiempos de las películas "El acorazado Potemkin" e "Iván el Terrible" de Serguéi Eisenstein. ^25 24
• En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
• Es necesario desmentir la expandida aseveración de que el número áureo aparece en la conocida representación del hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano que Vitruvio describe en su libro De architectura; concretamente en el Capítulo I del Libro Tercero, “El origen de las medidas del Templo”.
• En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven, en obras de Franz Schubert y Claude Debussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones del número phi (1,618) en la naturaleza y el ser humano. Menciona que las distancias entre nuestro cuerpo son proporcionales entre si, como las de la pierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc.
• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del Nautilus.
• En el episodio de Mentes Criminales "Obra maestra" (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenes del profesor Rothschild siguen una sucesión de Fibonacci; en la primera zona, mató a una víctima; en la segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la cuarta, a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las localizaciones también se disponen según una espiral áurea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estaban secuestrados los niños estaba justo en el centro. Hasta eligió a sus doce primeras víctimas según cuánto se acercaran las relaciones entre sus rasgos faciales al número áureo: buscaba que fueran los "especímenes más perfectos de ser humano".
• El arte Póvera fue un movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi, el orden del caos, el personaje central, el matemático Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente Theta (θ) en vez de Phi (Φ).
• El número phi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las matemáticas".²⁶